Schedule for: 21w5097 - 5th Meeting of Mexican Mathematicians in the World

El gas de Lorentz es un modelo de la mecánica estadística que data del principio del siglo XX y cuyo objetivo era descifrar el comportamiento de electrones dentro de un cristal. En aquella época, un cristal era cualquier sólido cuya estructura molecular fuese periódica. Esto cambió al principio de los 80s con el descubrimiento, hecho por Dan Shechtman, de sólidos cuya estructura molecular no era periódica y que sin embargo poseían estructura molecular ordenada. Estos sólidos recibieron el nombre "cuasicristales" y el descubrimiento le ganó a Shechtman el permio Nobel de química en el año 2011. El gas de Lorentz en cristales periódicos se ha estudiado desde el trabajo de Sinai a finales de los 60s y sus propiedades estadísticas se conocen muy bien. En cambio, las gran mayoría de las propiedades estadísticas del gas de Lorentz en cuasicristales se desconocen hasta la fecha. En esta charla presentaré estos sistemas y algunos resultados que se han obtenido recientemente en el caso de cuasicristales.

Un billar poligonal es un ejemplo de dinámica pseudo-caótica, que consiste en una combinación de evolución integrable y saltos discontinuos debido a singularidades cónicas que aparecen por las esquinas del polígono. Esta dinámica pseudo-caótica, caracterizada por exponentes de Lyapunov nulos, es responsable de la alta sensibilidad que las propiedades de transporte de partículas tiene sobre los detalles de la geometría del billar. Después de una introducción amplia sobre los billares y su uso como modelos de la mecánica estadística, en este seminario abordaré la estadística del desplazamiento de partículas en una familia de billares poligonales quasi unidimensionales. Mostraré que el transporte de partículas asociado a su dinámica está caracterizado por una difusión anómala fuerte con un desplazamiento cuadrático medio que escala en el tiempo mas rápido que linealmente y forma parte de una cierta clase de universalidad. La densidad de probabilidad del desplazamiento exhibe colas exponenciales y está dominada asintóticamente por frentes balísticos. En sistemas finitos la distribución de los tiempos de primer paso esta caracterizada por colas algebraicas y con un valor medio que diverge cuando el polígono es racional.

El tema de análisis, más especıficamente, el cálculo de primer orden en espacios métricos proporciona un marco unificador para ideas y preguntas de muchos campos diferentes de las matemáticas. El análisis de espacios métricos es hoy en día un campo activo e independiente, que reúne a investigadores de diferentes partes del espectro matemático. Tiene aplicaciones en áreas tan diversas como la teoría de grupos, las ecuaciones diferenciales parciales no lineales e incluso ciencias de la computación. Este trabajo se centra en la existencia y la teoría de la regularidad de soluciones variacionales asociadas al flujo de variación total (TVF) en un espacio métrico. Con este fin, adoptamos un enfoque variacional para el estudio de la TVF. Las ventajas de este enfoque incluyen mejores propiedades de convergencia y estabilidad. Hasta donde sabemos, ésta es la primera vez que se discuten cuestiones de existencia y regularidad para problemas parabólicos con crecimiento lineal en espacios métricos.

El uso de modelos estadísticos ha crecido exponencialmente en la última década. Ya sea usando simples estadísticas o complicadas redes neuronales, el uso de datos para modelado y predicción es omnipresente. Estos modelos nos han ayudado a automatizar nuestras vidas mediante aplicaciones de tráfico, asistentes virtuales, correctores de texto, etc. Generar estos modelos, sin embargo, requiere de vastas cantidades de datos --- en muchos casos personales. El traspaso libre de datos entre diferentes compañías o instituciones académicas ha resultado en violaciones de privacidad de usuarios. En esta plática daré una reseña histórica sobre cómo ha evolucionado el concepto de privacidad a través de los años. Después discutiré el concepto de privacidad estadística y cómo este concepto cuantifica un balance entre la utilidad de modelos estadísticos y la protección de los datos de un usuario. Finalmente discutiré varios problemas abiertos en esta área y por qué es necesario un mejor entendimiento matemático de este problema.

Abordaremos el papel fundamental que la moderación matemática, el diseño, el análisis, y la aplicación de métodos numéricos tienen en el estudio de importantes sistemas como materiales suaves y formulaciones de fluidos complejos. Un tema muy vigente que discutiremos es la amalgama de aprendizaje de máquina profundo (deep learning) con computo científico para acelerar el descubrimiento de nuevos materiales y como 'este novedoso enfoque podría transformar la manera de hacer computo científico para un vasto conjunto de aplicaciones.

Ésta será una breve introducción hacia la higher Teichmüller theory a través de la geometría hiperbólica y la teoría geométrica de grupos. Resumen: Una superficie cerrada $S$ de género mayor a 1 admite muchas estructuras hiperbólicas. Estas estructuras se pueden codificar algebraicamente mediante representaciones en $PSL(2,\mathbb{R})$ de su grupo fundamental $\pi_1(S)$. ¿Puede una representación $\pi_1(S) \to PSL(n,\mathbb{R})$ para $n>2$ también albergar información geométrica sobre $S$? En esta charla veremos la respuesta que nos dan las representaciones Anosov. Para llegar ahí hablaremos de qué son las representaciones y visitaremos, entre otros lugares, el espacio de Teichmüller y el componente Hitchin.

Las geodésicas cerradas en la superficie modular corresponden a órbitas periódicas del flujo geodésico en su haz tangente unitario. La clase de isotopía de cualquier órbita periódica puede ser vista como un nudo en una 3-variedad. El exterior de dichos nudos es siempre una 3-variedad hiperbólica, y por tanto tiene un volumen bien definido. En esta plática mostramos que existen sucesiones de geodésicas cerradas en las cuales dicho volumen está acotado linealmente en términos del periodo en fracciones continuas de la correspondiente geodésica cerrada.

Participantes: -Alejandro Adem ( University of British Columbia) -María Jose Rhi Sausi (CONACyT) -Victor Rivero (CIMAT) -Yasmin Rios (UANL) -Jesús de Loera (UC Davis)

Introduciremos las variedades de Shimura locales de manera informal sin definición rigurosa. Daremos motivación a su estudio y su relevancia en el programa de Langlands local. Mencionaremos algunos progresos históricos en el desarrollo del área. Y finalmente discutiremos las principales preguntas abiertas sobre la geometría de estos objetos.

Existen diferentes propiedades en teoría de grupos que pueden describirse por medio de ecuaciones. Una de estas propiedades es la conmutatividad de dos elementos. En esta plática me enfocaré en el problema de conteo de soluciones de sistemas de ecuaciones en términos de caracteres de grupos. En particular, hablaré sobre una fórmula clásica de Frobenius que cuenta el número de formas en que un elemento puede escribirse como el conmutador de otros dos elementos, y también describiré cómo puede extenderse esta fórmula de Frobenius a otros problemas de conteo. Discutire también como este tema tiene conexiones con otras áreas como topología y probabilidad.

Voy a presentar la teoría básica de matrices aleatorias y algunas de sus aplicaciones. Las matrices aleatorias aparecen en las estadísticas de ciertos sistemas correlacionados, por ejemplo en física nuclear, en teoría de números, en mercados financieros, en ciencia del clima, en redes como el internet, y en los autobuses de Cuernavaca. En esta charla, después de una introducción a las matrices aleatorias y unas de sus herramientas computacionales, daré una descripción general de sus aplicaciones a los ceros de funciones de L en teoría de números (como la función zeta de Riemann) y a sistemas climáticos.

La conjetura principal de Iwasawa cl ́asica, que realmente es un teorema (B. Mazur & A. Wiles 1984), revela los vínculos entre: 1) Objetos aritméticos, 2) funciones L p-adicas y 3) funciones L complejas. En esta plática explicaremos cuáles son y de dónde provienen estos objetos, cuáles son sus relaciones y qué consecuencias tienen estas relaciones. Finalmente veremos algunas generalizaciones. La plática está basada en el libro Torrres Infinitas sorprendentes: Una introducción a la teoría de Iwasawa escrito conjuntamente con Michael Fütterer.

Las vacunas de COVID-19 son la mejor herramienta que tenemos para luchar contra la pandemia. Sin embargo, dada la escasez de vacunas, priorizar a quién se vacuna primero, ha sido, y sigue siendo inevitable. En esta plática voy a describir dos proyectos en los cuales, combinando modelos matemáticos y algoritmos de optimización, determinamos el uso óptimo de estos recursos preciados. En el primer proyecto, determinamos quién tendría que ser vacunado primero, y demostramos que el uso óptimo de las vacunas de COVID-19 depende de la eficacia de la vacuna y de la cantidad de vacunas disponibles. En el segundo proyecto, consideramos quién debería ser vacunado y cuántas dosis debería recibir, y encontramos que la distribución óptima de vacunas depende de la eficacia de la primer dosis, la transmisión viral y la cantidad de vacunas disponibles.

En esta charla se presentará un panorama general de las diferentes herramientas matemáticas y computacionales que se utilizan en el área de finanzas cuantitativas. Presentaré tres problemas que surgen en diferentes áreas del sector bancario: (1) Modelación de pérdida esperada (2) Estimación de Matrices de Correlación en grandes dimensiones (3) Modelación de precios de futuros de petróleo.

En esta charla consideraremos la métrica intrínseca en dos modelos probabilísticos en Z^d: el árbol generador uniforme y los entrelazamientos aleatorios. Ambos modelos se pueden construir con caminatas aleatorias y definen gráficas encajadas en Z^d. El espacio métrico asociado a estas gráficas es aleatorio, así que nos enfocaremos en propiedades que se satisfacen con probabilidad uno (al tomar el límite adecuado).

Nuestra plática se desarrolla en el mundo de la teoría de gráficas y su intersección con la geometría y la combinatoria. Estudiamos dibujos de gráficas en el plano en los que los vértices son puntos y las aristas son curvas que los unen. Nos interesa optimizar parámetros determinados por la geometría o la topología de estos dibujos. Existen varios problemas famosos en esta área que son fáciles de entender y que por lo general siguen abiertos. Sin embargo variantes de estos problemas pueden ser accesibles a diferentes niveles. Uno de mis problemas favoritos en este contexto es el de minimizar el número de cruces de aristas sobre todos los dibujos de la gráfica completa. Compartiré ideas y variaciones de éste y otros problemas similares.

Participantes: -Gabriela Araujo (UNAM) -Ana Rechtman (Université de Strasbourg) -Jose Seade (UNAM) -Hamish Short (Aix Marseille Université)